Matematyka: Matematyka:Gimnazjum/Kąty i proste

Edytuj
Komentarze              Archiwum wersji (wszystkie edycje)

Skopiowano ze stron roboczych projektu Wolne Podręczniki

Modułem opiekuje się: TG

[Red:

  1. konstrukcja prostych równoległych i prostopadłych (dodawanie odcinków trochę wcześniej, potem jeszcze przed rodzajami kątów)
  2. proste równoległe przecięte trzecią prostą

]

Spis treści

Kąty przyległe

Kąty α i β narysowane poniżej to przykład kątów przyległych.

Katy adjacent 00.svg

Zapamiętaj

O dwóch kątach mówimy, że są przyległe, jeśli mają jedno ramię wspólne a niewspólne ramiona tworzą linię prostą.

Ważne

Kąty przyległe w sumie dają kąt półpełny.

Półprosta dzieląca kąt półpełny na dwa kąty tworzy z nich kąty przyległe.


Kąty wierzchołkowe

Poniżej powtórzone są rysunki dwóch przecinających się prostych. Na każdym z nich zaznaczona jest inna para kątów wierzchołkowych.

Katy opposite 01.svg

Katy opposite 02.svg

Zapamiętaj

O dwóch wypukłych kątach powiemy, że są wierzchołkowe, jeśli mają wspólny wierzchołek a ramiona każdego z nich są przedłużeniami ramion drugiego kąta.

Ważne

Kąty wierzchołkowe są równe.

Uzasadnienie 1. Kąty wierzchołkowe są przyległe do jednego kąta. Na pierwszym rysunku kąty α i β są przyległe do kąta γ, a więc są równe. Uzasadnienie 2. Obrót jednego z kątów wierzchołkowych o kąt półpełny dookoła wspólnego wierzchołka daje dokładnie ten drugi kąt.

Proste równoległe przecięte trzecią prostą

Oto rysunek pokazujący kąty, którymi się zajmiemy. Dwie proste równoległe zostały przecięte trzecią prostą. Powstały dwa punkty przecięcia.

Katy trans 00.svg

Będziemy szukali zależności pomiędzy kątami o wierzchołkach w dwóch różnych punktach przecięcia A i B. Zaczniemy od najprostszej obserwacji.

Kąty odpowiadające sobie

Poniżej narysowane są cztery pary tak zwanych kątów odpowiadających sobie.

Katy trans corr 01.svg Katy trans corr 02.svg Katy trans corr 03.svg Katy trans corr 04.svg

Poniżej pokazany jest jeden z dwóch odpowiadających sobie kątów.

Katy trans corr 01 a.svg Katy trans corr 02 a.svg Katy trans corr 03 a.svg Katy trans corr 04 a.svg

Który? Nie można na to pytanie odpowiedzieć! One są nierozróżnialne.

Ważne

Kąty odpowiadające sobie są równe.

Kąty jednostronne zewnętrzne i wewnętrzne

Kąty jednostronne zewnętrzne

Katy trans 1s 01.svg Katy trans 1s 02.svg

Kąty te nazywają się jednostronne, bo leżą po jednej stronie prostej przecinającej parę prostych równoległych, a zewnętrzne, bo leżą na zewnątrz pasa pomiędzy prostymi równoległymi.

Poniżej jeden z tych kątów został zastąpiony przez odpowiadający mu kąt w sąsiednim punkcie przecięcia. Powstały kąty przyległe, które w sumie dają kąt półpełny.

Katy trans 1s 01 a.svg Katy trans 1s 02 a.svg


Ważne

Kąty jednostronne zewnętrzne dają w sumie kąt półpełny

Kąty jednostronne wewnętrzne

Katy trans 1s 03.svg Katy trans 1s 04.svg

Kąty te nazywają się jednostronne, bo leżą po jednej stronie prostej przecinającej parę prostych równoległych, a wewnętrzne, bo leżą wewnątrz pasa pomiędzy prostymi równoległymi. Poniżej jeden z tych kątów został zastąpiony przez odpowiadający mu kąt w sąsiednim punkcie przecięcia. Powstały kąty przyległe, które w sumie dają kąt półpełny.

Katy trans 1s 03 a.svg Katy trans 1s 04 a.svg


Ważne

Kąty jednostronne wewnętrzne dają w sumie kąt półpełny

Kąty naprzemianległe zewnętrzne i wewnętrzne

Kąty naprzemianległe zewnętrzne

To są kąty naprzemianległe zewnętrzne.

Katy trans 2s 01.svg Katy trans 2s 02.svg

Poniżej jeden z tych kątów został zastąpiony przez odpowiadający mu kąt w sąsiednim punkcie przecięcia. Powstały kąty wierzchołkowe, które są równe.

Katy trans 2s 01 a.svg Katy trans 2s 02 a.svg


Ważne

Kąty naprzemianległe zewnętrzne są równe


Kąty naprzemianległe wewnętrzne

To są kąty naprzemianległe wewnętrzne.

Katy trans 2s 003.svg Katy trans 2s 04.svg

Poniżej jeden z tych kątów został zastąpiony przez odpowiadający mu kąt w sąsiednim punkcie przecięcia. Powstały kąty wierzchołkowe, które są równe.

Katy trans 2s 003 a.svg Katy trans 2s 04 a.svg


Ważne

Kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe

Podsumowanie

Poniższe podsumowanie zawiera w sobie prawie wszystkie informacje z tego rozdziału.

Ważne

Po przecięciu dwóch prostych równoległych trzecią prostą powstają dwie czwórki równych kątów.

Katy trans 99.svg

Na rysunku równe kąty zaznaczone są tym samym kolorem.

Przykłady

Przykład

Kąty w równoległoboku

Oblicz zaznaczone kąty.

Katy(2) p 01.svg

Wystarczy nieco przedłużyć boki równoległoboku, aby zobaczyć dwie proste przecięte trzecią prostą. I to na parę sposobów.

Katy(2) p 01 a.svg

Spójrzmy na dwie równoległe poziome proste i skośną prostą po lewej stronie. Mamy kąty jednostronne wewnętrzne α i β, które w sumie dają 180°. A więc \beta=180^\circ -40^\circ =140^\circ  . Teraz możemy spojrzeć na dwie niepoziome linie, które są równoległe i przecięte górną poziomą linią. Kąty jednostronne wewnętrzne to α i δ, więc \delta=180^\circ -\alpha=140^\circ , a na koniec \gamma=40^\circ .



Przykład

Kąty w trapezie

Oblicz zaznaczone kąty

Katy(2) p 02.svg

W trapezie mamy dwie proste równoległe (przedłużenia podstaw) przecięte jednym ramieniem oraz te same proste równoległe przecięte drugim ramieniem.

Katy(2) p 02 a.svg

Dwa razy wykorzystujemy wiedzę o prostych równoległych przeciętych trzecią prostą i

\beta =180^\circ -\alpha =180^\circ -140^\circ =40^\circ i

\delta =180^\circ -\gamma =180^\circ -60^\circ =120^\circ

Kąt x liczymy z dużego trójkąta x=180^\circ -\beta -\gamma =180^\circ - 40^\circ - 60^\circ =80^\circ


Przykład

Wyobraźmy sobie dowolny trójkąt.

Katy(2) triangle 01.svg

Obróćmy go o 180° wokół środka boku AC. Następnie obróćmy wyjściowy trójkąt znowu o 180° wokół środka boku BC. Oto rezultat.

Katy(2) triangle 02.svg

Czy widzicie, że trzy kąty wewnętrzne trójkąta utworzyły przy wierzchołku C kąt półpełny? Inny dowód na to, że suma kątów w trójkącie to kąt półpełny.

A teraz dokonajcie poprzez obrót o 180° dookoła boku BC zdublowania wyjściowego trójkąta, a następnie zdublujcie ten zdublowany. Tak jak to widać poniżej.

Katy(2) triangle 03.svg

Czy widzicie, że kąt zewnętrzny zaznaczony czarnym łukiem jest sumą dwóch wewnętrznych do niego nieprzystających kątów trójkąta. Taką konstrukcję można powtórzyć przy każdym kącie zewnętrznym trójkąta.

Katy(2) triangle 04.svg

Ćwiczenie 1

Katy c 01.svg

Oblicz zaznaczone kąty. Wynik podaj z dokładnością do 0,1°.

α '= β= β '= γ= γ '= δ= δ '=

Ćwiczenie 2

Oblicz wszystkie kąty. Bez kątomierza.


Katy(2) c 02.svg

a= b= c= d= e= f= g= h= i= j= k= l= m= n= o=

Obliczeń nie musisz wykonywać w kolejności alfabetycznej. Po wykonaniu obliczeń możesz sprawdzić swoje obliczenia kątomierzem.


Ćwiczenie 3

Proste poziome są równoległe. Oblicz wszystkie kąty. Bez kątomierza.

Katy(2) c 03.svg

a= b= c= d= e= f= g= h= i= j= k= l= m= n= o=

Obliczeń nie musisz wykonywać w kolejności alfabetycznej. Po wykonaniu obliczeń możesz sprawdzić swoje obliczenia kątomierzem.